Franz Schellhorn schreibt im Nachrichtenmagazin profil einen Kommentar zum Thema Berechnung der Armutsgefährdung und zeigt dabei, dass er beim Umgang mit statistischen Maßzahlen konzeptuelle Probleme hat.
Er behauptet dort:
„Selbst wenn morgen jeder Haushalt eine Million Euro vor die Tür gestellt bekäme, wären statistisch dieselben 1,7 Millionen Menschen armutsgefährdet wie heute.“
Um diese Behauptung zu prüfen, betrachten wir ein vereinfachtes Beispiel mit seinen Zahlen. Rechnen wir ein vereinfachtes Beispiel mit den von ihm genannten Zahlen durch:
Er geht von einer Armutsgrenze von 1.826 € aus. Da die Armutsgrenze 60% des Mediannettoeinkommens beträgt, entspricht das einem Mediannettoeinkommen von 3.045 € pro Monat.
Um die Einkommensverteilung grafisch darzustellen brauchen wir noch eine Annahme für den Gini-Koeffizienten (ein Maß für Ungleichheit der Verteilung, siehe Wikipedia), ein realistischer Wert für Österreich ist 0,25.
Unter diesen (vereinfachenden) Annahmen sieht die Verteilung der Einkommen so aus:
Die Armutsgefährdungsgrenze liegt unter diesen Annahmen bei 1826, der Anteil der Einkommen, die geringer als diese Grenze sind, liegt bei 12,9%.
Was geschieht, wenn wir jedes dieser Einkommen um 1500 erhöhen?
Franz Schellhorn behauptet sinngemäß, dass sich der Anteil der Einkommen unterhalb der Armutsgefährdungsgrenze nicht ändert, wenn wir sie nach der Regel „60% des Medianeinkommens“ neu berechnen; das ist jedoch nicht korrekt.
Das neue Medianeinkommen ist dann
3045+1500=4545 und die neue
Armutsgefährdungsgrenze ist 4545*60%=2727.
Der Anteil der (neuen, erhöhten) Einkommen unterhalb dieser neuen Armutsgefährdungsgrenze ist
2,1%.
Der Anteil sinkt also deutlich.
Die Grenze, unter der derselbe Prozentsatz wie vorhin
liegt, ist 3326.
Sie ist deutlich höher als die 60% des neuen Medians.
Jetzt wird’s etwas mathematischer.
Hinweis: Würde man alle Einkommen proportional um denselben Faktor erhöhen, also beispielsweise verdoppeln, dann bliebe der Anteil der Einkommen unter der Armutsgefährdungsgrenze gleich. Erhöht man jedoch alle Einkommen um denselben Betrag, dann ändert sich dieser Anteil.
Wir bezeichnen die Einkommen \(e_i\).
Das niedrigste Einkommen ist \(e_0=0\) und das mediane Einkommen ist \(m\). Außerdem haben wir den Faktor zur Festlegung
der Armutsgrenze \(f\).
Die Armutsgrenze bestimmen wir mit \(g=m\cdot f\).
Der Faktor \(f\) ist bei EUROSTAT \(f=0,6\)
Wenn wir jetzt zu allen Einkommen \(e_i\) einen Bonus \(b\) addieren,
dann betragen die neuen Einkommen \(\tilde{e}_i = e_i+b\) und
der Median dieser erhöhten Einkommen ist \(\tilde{m}=m+b\).
Die neu berechnete Armutsgrenze ist \(\tilde{g}=f\cdot \tilde{m}\).
Das niedrigste der neuen Einkommen ist dann \(\tilde{e}_0=b\).
Wäre das niedrigste Einkommen \(b\) so hoch oder höher als die Armutsgrenze
\(\tilde{g}\), dann wäre der Anteil der armutsgefährdeten Einkommen \(0\),
denn dann läge kein Einkommen unterhalb der Armutsgrenze.
Damit niemand mehr unter der neuen Armutsgrenze liegt,
muss \(\tilde{e}_0\) mindestens so groß sein wie \(\tilde{g}\).
Das ist gleichbedeutend mit \(b \geq f(m+b)\).
Das führt zur Bedingung
$$b \geq m\frac{f}{1-f}$$.
Setzt man \(f=0,6\) erhält man \(b=1,5m\). Erhöht man also alle Einkommen um das 1,5-Fache des Medianeinkommens, liegt niemand mehr unter der neu berechneten Armutsgrenze.
Die Behauptung, eine gleich hohe Einmalzahlung an alle würde an der Armutsgefährdungsquote nichts ändern, ist somit klar widerlegt – selbst in diesem stark vereinfachten Setting.